Proposition 9.1

We verify that the parametrization in Prop. 9.1 satisfies the equations in (32).

We record the equations and the parametrization. We evaluate the parametrized equations at the matrix M in (3).

eqns={(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 5]) (Subscript[u, 7]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 10])+(Subscript[u, 5]) (Subscript[u, 8]) (Subscript[u, 9]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 14]),(Subscript[u, 11])+(Subscript[u, 4]) (Subscript[u, 5]) (Subscript[u, 7]) (Subscript[u, 8]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 14]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 6])+(Subscript[u, 3]) (Subscript[u, 7]) (Subscript[u, 8]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 13]),(Subscript[u, 9])+(Subscript[u, 4]) (Subscript[u, 7]) (Subscript[u, 10]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 14])+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[u, 7]) (Subscript[u, 10]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 8])+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 6]) (Subscript[u, 10]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 4])+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[u, 9]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 13]),(Subscript[u, 12])+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 5]) (Subscript[u, 6]) (Subscript[u, 9]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 14]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 3])+(Subscript[u, 4]) (Subscript[u, 5]) (Subscript[u, 6]) (Subscript[u, 14]) (Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 2])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 4]) (Subscript[u, 8]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 14]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[u, 8]) (Subscript[u, 9]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 13]) (Subscript[u, 14])+(Subscript[u, 15]),(Subscript[u, 7])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 6]) (Subscript[u, 9]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 14]),(Subscript[u, 5])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[u, 10]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 12]),(Subscript[u, 13])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 4]) (Subscript[u, 6]) (Subscript[u, 10]) (Subscript[u, 11]) (Subscript[u, 12]) (Subscript[u, 14]) (Subscript[u, 15])};
parametrization={(Subscript[u, 1])->((p135*p146*p234*p256-p134*p156*p235*p246)/(p126 p135 p234 p456)),(Subscript[u, 2])->((p134 p156 p235 p246)/(p135 p146 p234 p256)),(Subscript[u, 3])->((p134 p356)/(p135 p346)),(Subscript[u, 4])->((p136 p145)/(p135 p146)),(Subscript[u, 5])->((p125 p136 p246 p345)/(p126 p135 p245 p346)),(Subscript[u, 6])->((p136 p235)/(p135 p236)),(Subscript[u, 7])->((p123 p145 p246 p356)/(p124 p135 p236 p456)),(Subscript[u, 8])->((p125 p356)/(p135 p256)),(Subscript[u, 9])->((p125 p134)/(p124 p135)),(Subscript[u, 10])->((p145 p235)/(p135 p245)),(Subscript[u, 11])->((p135 p234)/(p134 p235)),(Subscript[u, 12])->((p135 p456)/(p145 p356)),(Subscript[u, 13])->((p124 p135 p256 p346)/(p125 p134 p246 p356)),(Subscript[u, 14])->((p126 p135)/(p125 p136)),(Subscript[u, 15])->((p135 p146 p236 p245)/(p136 p145 p235 p246))};
PlueckerVar={p123,p124,p125,p126,p134,p135,p136,p145,p146,p156,p234,p235,p236,p245,p246,p256,p345,p346,p356,p456};
dMatrix={{1,1,1,1,1,1},{(Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]),(Subscript[d, 3]),(Subscript[d, 4]),(Subscript[d, 5]),(Subscript[d, 6])},{((Subscript[d, 1])^3),((Subscript[d, 2])^3),((Subscript[d, 3])^3),((Subscript[d, 4])^3),((Subscript[d, 5])^3),((Subscript[d, 6])^3)}};
MatrixForm[dMatrix]

Pluecker[mat_,id_]:=Det[mat[[All,id]]];
allPluecker[mat_]:=Map[Pluecker[mat,#]&,Subsets[{1,2,3,4,5,6},{3}]];

Every equation in (32) evaluates to one.

Simplify[(eqns/.parametrization)/.Thread[PlueckerVar->allPluecker[dMatrix]]]